Pan učitel
Big agh is watching you
A tyhle dva testy spolu zvládneme připravit.
Zítra rovnice? Tohle je tvoje cesta.
Test z grafů byl 26. 10., test z rovnic je 2. 11. 2026. Oba okruhy tu máš zvlášť. Všechny úhly jsou v radiánech, pokud u nich není značka °.
- 10 minut: základy. Co znamenají sin a cos, důležité hodnoty a znaménka.
- 25 minut: rovnice krok za krokem. Projdi všech osm úloh z 3.pdf. Zkus další krok před jeho odkrytím.
- 15 minut: procvičování. U každé chyby zjisti proč. Pak si ji zopakuj.
- 15 minut: test nanečisto. Počítej na papír, řešení odkryj až na konci.
- 20 minut: grafy. Měň vždy jeden parametr a sleduj jeho účinek.
Co se potřebuješ naučit
Co je převzaté a co je navíc
Rozsah testů pochází z oznámení učitele. Přesné úlohy pro test nanečisto nejsou známé. Řešené příklady odpovídají tvým PDF; kvíz a testy nanečisto jsou nově sestavené procvičování stejných dovedností.
1.pdf: základy, rovnice 4.1–4.7 a grafy 5.1–5.3. 2.pdf: dva postupně stavěné grafy. 3.pdf: osm rovnic a omezení na intervaly. Podrobnosti a opravy najdeš v části „Přehled“.
Funguje bez internetu. Splněné dovednosti a výsledky kvízu se ukládají v tomto prohlížeči, pokud prohlížeč dovoluje ukládání u místních souborů.
1. Co vlastně znamenají sin a cos?
Představ si bod na kružnici s poloměrem 1. Úhel měříš od pravé části vodorovné osy proti směru hodinových ručiček.
Cosinus = vodorovná souřadnice.
Sinus = svislá souřadnice.
Hodnoty, které potřebuješ znát
| Stupně | Radiány | sin | cos | tg |
|---|
Zapamatuj si sinus v prvním kvadrantu jako √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Kosinus jde v opačném pořadí.
Stupně → radiány: násob π/180.
Radiány → stupně: násob 180/π.
Znaménka (sin; cos):
I: (+; +), II: (+; −), III: (−; −), IV: (−; +).
Proč jsou obvykle dvě řešení?
Přímka ve výšce 1/2 protne kružnici dvakrát. Proto má sin x = 1/2 v jedné otáčce řešení π/6 a 5π/6.
Další otáčka přidá 2π. Všechna řešení tedy jsou x = π/6 + 2kπ nebo x = 5π/6 + 2kπ.
k ∈ ℤ znamená libovolné celé číslo: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
Výjimky: sin x = 1 má za jednu otáčku jediné řešení. Sin x = 2 nemá žádné, protože sinus je vždy mezi −1 a 1.
Tangens, kotangens a záludnosti
tg x = sin x / cos x; není definovaný, když cos x = 0.
cotg x = cos x / sin x; není definovaný, když sin x = 0.
Jejich perioda je π. Sin a cos mají periodu 2π.
sin(−x) = −sin x, ale cos(−x) = cos x.
sin²x znamená (sin x)², nikoli sin(x²).
sin²x + cos²x = 1.
2. Grafy: nejdřív změnu uvidíš
Předvolby zahrnují všechny funkce z úloh 5.1–5.3 a obě posloupnosti z 2.pdf. Posuvníky pak dovolují vlastní pokusy.
Zelená: tvoje funkce. Šedá přerušovaná: základní sin / cos. Oranžové body: pět bodů jedné periody před případnou absolutní hodnotou. Osa x je v radiánech.
Hodnoty f(0), f(π/2), f(π/3) a body pro náčrt
Postup, který funguje u každého grafu
- Amplituda |a| je vzdálenost od střední čáry k vrcholu. Záporné a převrátí vlnu.
- Perioda T = 2π/|b|. Pro b = 2 se vlna opakuje už po π. Pro b = 1/2 až po 4π.
- Vodorovný posun h = −c/b. U sin(x − π/2) je h = π/2, tedy doprava.
- Střední čára y = d; obor hodnot [d − |a|; d + |a|]. Definiční obor je ℝ.
- Pět bodů: polož bx + c rovno 0, π/2, π, 3π/2, 2π; dopočítej x a y. Propoj je hladkou vlnou.
- Průsečíky: pro osu y dosaď x = 0; pro osu x vyřeš y = 0.
Vzorce pro amplitudu a periodu zde předpokládají a ≠ 0, b ≠ 0. Při nule vznikne konstantní funkce; tu laboratoř rozpozná.
Úloha 1 z 2.pdf
cos x → cos 2x → ½ cos 2x → ½ cos 2x − 1.
Nejprve se perioda zkrátí z 2π na π. Pak se amplituda sníží na 1/2. Nakonec se celý graf posune o 1 dolů.
Výsledek: D = ℝ, H = [−3/2; −1/2], T = π. Průsečík s osou y je (0; −1/2). S osou x se graf neprotíná.
Celá tabulka pro cos 2x ze zadání
| x | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2x | 0 | π/3 | π/2 | 2π/3 | π | 4π/3 | 3π/2 | 5π/3 | 2π |
| cos 2x | 1 | 1/2 | 0 | −1/2 | −1 | −1/2 | 0 | 1/2 | 1 |
Úloha 2 z 2.pdf
sin x → sin(x − π/2) → 3 sin(x − π/2) → 3 sin(x − π/2) − 1.
Posun doprava o π/2, trojnásobná výška a o 1 dolů. D = ℝ, H = [−4; 2], T = 2π.
Absolutní hodnota |3 sin(x − π/2) − 1| překlopí vše pod osou x nahoru. H = [0; 4], perioda zůstane 2π.
V bodě 3 je v PDF napsáno 3·f₂(x), ale další text odkazuje na g₂. Zde používáme návaznou variantu 3·g₂(x). Doslovné 3·f₂(x) z úlohy 1 by znamenalo 3 cos 2x.
3. Osm rovnic z tvého pracovního listu
Vyber úlohu. Napiš si vlastní krok na papír a teprve potom odkryj další. Ve všech obecných řešeních platí k ∈ ℤ.
Prostor pro vlastní postup
Tento zápis se automaticky nehodnotí ani neukládá. K výpočtu je nejlepší papír.
Jak vybírat řešení v intervalu
- Nejdřív vyřeš rovnici v ℝ.
- Za k dosazuj celá čísla, která dají x v požadovaném intervalu.
- Spoj obě větve, seřaď výsledky a odstraň opakování.
- Hranaté závorky zahrnují krajní body. Ověř i podmínky.
Odkryje se až po dokončení postupu. Na intervalu [0; 2π) by se případné 2π vyřadilo.
Další typy z 1.pdf, které se mohou hodit
4. Teď to zkus sám
5. Test nanečisto
Jde o cvičné testy vytvořené podle témat a typů příkladů ve zdrojích. Nejde o skutečné zadání učitele.
6. Přehled před testem
Postup pro rovnice
- Zapiš podmínky (jmenovatel ≠ 0; tg a cotg musí existovat).
- Roznásob a dosaď známé hodnoty.
- Izoluj sin / cos / tg, případně použij t = sin x nebo t = cos x.
- U sin a cos vyřaď hodnoty mimo [−1; 1].
- Najdi všechny základní úhly a přičti periodu.
- U argumentu ax + b dopočítej x. Vyděl celý výraz, včetně periody.
- Zkontroluj podmínky a případný interval.
Základní vzorce pro řešení
sin u = sin α ⇒ u = α + 2kπ nebo u = π − α + 2kπ.
cos u = cos α ⇒ u = ±α + 2kπ.
tg u = tg α ⇒ u = α + kπ.
cotg u = cotg α ⇒ u = α + kπ.
sin u = 0 ⇒ u = kπ.
cos u = 0 ⇒ u = π/2 + kπ.
Nejčastější chyby
„sin x = 1/2 ⇒ x = π/6.“
Chybí 5π/6 a oběma větvím chybí +2kπ.
„sin 2x = 1/2 ⇒ x = π/12 + 2kπ.“
Perioda se také dělí dvěma: +kπ. Druhá větev je 5π/12 + kπ.
„sin²x = 1/4 ⇒ sin x = 1/2.“
Patří sem i −1/2.
„y = sin(x − 2) jde doleva.“
Jde doprava o 2 radiány. Uvnitř závorky je směr opačný.
„cos x = −2 je také úhel.“
Takové řešení neexistuje.
„Můžu vydělit rovnici sin x.“
Jen pokud je sin x ≠ 0. Jinak ztratíš kořeny. Bezpečnější bývá rozklad na součin.
Zdroje a opravy podkladů
Vychází z dodaných souborů 1.pdf (7 stran), 2.pdf (2 strany), 3.pdf (1 strana) a z vloženého oznámení učitele „Testy – 26.10. a 02.11.“. Odkaz na učitelův přehled: martin-agh.cz / 3. ročník. Tato učebnice nepotřebuje web k fungování.
- 1.pdf, výsledky 1.8(b) a 3.2(b): zadání má cos x = +√2/2, takže správně x = π/4 + 2kπ nebo 7π/4 + 2kπ. Vytištěné 3π/4 a 5π/4 odpovídají zápornému kosinu.
- 1.pdf, výsledek 4.2(c): k úhlům 7π/12 a 11π/12 patří +kπ. V klíči chybí perioda.
- 1.pdf, 4.4(e): je zde tg²x = 3 (druhá mocnina tangensu), nikoli tg(2x).
- 2.pdf, úloha 2 bod 3: vytištěno g₃ = 3·f₂, ale slovní popis navazuje na g₂. V návazném příkladu používáme g₃ = 3·g₂ a upozorňujeme na doslovnou alternativu.
Opravy vycházejí z přímého přepočtu zadání. Interaktivní graf zobrazuje u vlastních nastavení některé hodnoty desetinně; do školního řešení piš přesné hodnoty s π a odmocninami.